[原创]整数分解随笔(二)

本文中的一些概念请参考 http://bbs.pediy.com/showthread.php?t=191279
       整数分解随笔(二)
一、对中间数的证明
① n=4k-1
Sj=1+2+3+…+2j-1=j^2
Si=i(i+1)+k
当Sj=Si时，即j^2=i(i+1)+k，要使该式成立，当j=k，i=k-1时，该式成立
  j^2-i(i+1)=k
  j^2-i^2 - i= k
  (j+i)(j-i) = k+i
  当 j-i =1,且j=k时上式成立
即中间数相交于k
② n=4k+1
Sj=1+2+3+…+2j-1=j^2
Si=i(i+1)+n-k-2k=i(i+1)+n-3k
  j^2 - i(i+1)=n-3k
  (j+i)(j-i)=n-3k+i
  当j-i=1,j=n-3k时上式成立
  即中间数相交于n-3k=4k+1-3k=k+1
  
二、整数的完全平方数
  完全平方数的判断目前都没有最直接的方法，都是先开方得到一个数，然后该数平方看是否与原来的数相等，如果相等则为完全平方教，否则不是完全平方数。
  本节只讨论奇完全平方数，偶数的完全平方数本文不讨论。
  设n=2k+1 (k>0)，则
   n^2=(2k+1)^2=(k+k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1         Ⅰ
  从上式可以知道了，奇数的完全平方必为8m+1，因为上式中k(k+1)是连续两个整数的积，必然一个为奇数，一个为偶数。从上式也知道连续两个数和的平方必为这两个连续整数积的4倍加1，来看以下例：
   5+6=11^2=121=4*5*6+1
   10+11=21^2=441=4*10*11+1
   15+16=31^2=961=4*15*16+1
  
   如果要判断一个数是否为完全平方数，可以把该数减1除4，再对该结果进行开方，对开方结果的相邻两数积，即可知道是否为完全平方数。如：
    729=4×182+1
    ∵182：√182≈13 ,13×(13+1)=182
    ∴729=(13+14)^2=27^2
    5929=4×1482+1
    ∵1482:√1482≈38 ,38×(38+1)=1482
    ∴5929=(38+39)^2=77^2
     1361=4×340+1
    ∵340:√340≈18 ,18×(18+1)=342
    ∴1361不是完全平方数